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    IBDifícilProbability10.º–12.º ano

    Quando o Valor Esperado Atravessa uma Função e Quando Não Atravessa

    Uma variável aleatória discreta XX toma os valores 11, 22 e 33 com probabilidades 12\frac{1}{2}, 13\frac{1}{3} e 16\frac{1}{6}. Determina E(X)E(X), E(3X−1)E(3X - 1) e E(X2)E\left(X^{2}\right) e, a partir daí, Var⁡(X)\operatorname{Var}(X). Compara E(X2)E\left(X^{2}\right) com (E(X))2\left(E(X)\right)^{2} e explica o que a comparação mostra.

    O valor esperado de uma função de XX obtém-se aplicando a função a cada valor e ponderando pelas mesmas probabilidades. Se isso coincide ou não com aplicar a função a E(X)E(X) depende da função, e as duas funções aqui comportam-se de maneira diferente.

    Solução

    Passo 1 de 7

    1. 1.E(X)=1×12+2×13+3×16=12+23+12=53E(X) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3}