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    OlympiadDifícilAlgebra10.º–12.º ano

    Um Polinómio que Não Chega a Dois

    Seja PP um polinómio de coeficientes inteiros e sejam aa, bb, cc três inteiros distintos com P(a)=P(b)=P(c)=1P(a) = P(b) = P(c) = 1. Demonstra que a equação P(x)=2P(x) = 2 não tem solução inteira.

    Com coeficientes inteiros, m−nm - n divide sempre P(m)−P(n)P(m) - P(n); aplica isso três vezes a uma suposta solução.

    Solução

    Passo 1 de 6

    1. 1.Primeiro a ferramenta. Se PP tem coeficientes inteiros, então para inteiros m≠nm \ne n cada termo mk−nkm^{k} - n^{k} é divisível por m−nm - n, logo (m−n)∣P(m)−P(n)(m - n) \mid P(m) - P(n).