Para reais positivos $x$ e $y$ com $x + y = 1$, qual é o valor mínimo de $\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right)$?

O produto é $\frac{(1+x)(1+y)}{xy} = \frac{1 + (x+y) + xy}{xy} = \frac{2}{xy} + 1$, que é menor quando $xy$ é maior. Com $x + y = 1$, isso é $xy = \frac{1}{4}$ em $x = y = \frac{1}{2}$, dando $8 + 1 = 9$.