Quantos caminhos de $(0,0)$ até $(5,5)$, dando de cada vez um passo para a direita ou um passo para cima, nunca sobem acima da reta $y = x$?

É o número de Catalan $C_{5} = \frac{1}{5 + 1}\binom{10}{5} = \frac{252}{6} = 42$. O $252$ conta todos os caminhos, sem restrição.